无限阶三角形镶嵌

在几何学中，无限阶三角形镶嵌跟其他几何图形中有一些关联，下面列出两种关联:同样由三角形组成与无限变形镶嵌的变换形。

三角形镶嵌系列

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无限阶三角形镶嵌在拓扑上与一系列用施莱夫利符号{3,n}表示的（广义）多面体一直延伸到双曲镶嵌拥有相似的结构：

多面体

欧式镶嵌

双曲镶嵌

{3,2}

{3,3}

{3,4}

{3,5}

{3,6}

{3,7}

{3,8}

{3,9}

...

{3,∞)

这一系列图形全部都是正图形。在这一系列中，从n=2开始，n介于3到5是三维欧几里得空间的多面体，这些面体同时也是柏拉图立体，n为6时是欧几里得平面镶嵌图，是正镶嵌图之一，n从7开始是二维罗氏几何平面镶嵌图，即双曲镶嵌图，直至无限大的无限阶三角形镶嵌，为此系列终点。

无限边形镶嵌的变换形

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无限阶三角形镶嵌可以透过三阶无限变形镶嵌透过对偶变换构成。其他可以经由无限边形镶嵌变换成的几何图形列于下表:

[∞,3]仿紧凑双曲半正镶嵌系列

对称群：[∞,3], (*∞32)

[∞,3]+(∞32)

[1+,∞,3](*∞33)

[∞,3+](3*∞)

=

=

=

= or

= or

=

{∞,3}

t{∞,3}

r{∞,3}

t{3,∞}

{3,∞}

rr{∞,3}

tr{∞,3}

sr{∞,3}

h{∞,3}

h2{∞,3}

s{3,∞}

半正对偶

V∞3

V3.∞.∞

V(3.∞)2

V6.6.∞

V3∞

V4.3.4.∞

V4.6.∞

V3.3.3.3.∞

V(3.∞)3

V3.3.3.3.3.∞

对称性: [(∞,3,3)], (*∞33)

[(∞,3,3)]+, (∞33)

{(∞,∞,3)}

t0,1{(∞,3,3)}

t1(∞,3,3)

t1,2(∞,3,3)

t2{(∞,3,3)}

t0,2(∞,3,3)

t0,1,2 {(∞,3,3)}（英语：Truncated_infinite-order_triangular_tiling）

s(∞,3,3)

对偶镶嵌

V(3.∞)3

V3.∞.3.∞

V(3.∞)3

V3.6.∞.6

V(3.3)∞

V3.6.∞.6

V6.6.∞

V3.3.3.3.3.∞

其他无限阶三角形镶嵌

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非正无限阶三角形镶嵌[注 6]可以从中央三角形经过境射的迭代过程中产生，如下图所示：